実数列 $(b_n)$ が収束するとき, $(1/b_n)$ も収束して, $$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n} = \frac{1}{\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n} $$ が成り立つことを証明せよ. ただし, $b_n\neq 0$ $(n=1, 2, 3, \ldots)$ かつ $\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n\neq 0$ とする.
解答例 1
$\displaystyle b=\lim_{n\to\infty} b_n$ とおく.
実数 $\varepsilon>0$ を任意にとる. ある番号 $N_1$ が存在して, $n\geq N_1$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ \lvert b_n - b \rvert < \frac{\lvert b\rvert^2\varepsilon}{2}. $$ また, ある番号 $N_2$ が存在して, $n\geq N_2$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ \lvert b\rvert - \lvert b_n\rvert \leq \lvert b-b_n\rvert < \frac{\lvert b\rvert}{2}, \quad\mbox{ゆえに}, \quad \lvert b_n\rvert > \frac{\lvert b\rvert}{2} $$ が成り立つ.
$N=\max\{N_1, N_2\}$ とおくと, $n>N$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ \left\lvert \frac{1}{b_n} - \frac{1}{b}\right\rvert = \frac{\lvert b-b_n\rvert}{\lvert b_n\rvert \lvert b\rvert} < \frac{\lvert b\rvert^2\varepsilon}{2}\cdot\frac{2}{\lvert b\rvert}\cdot\frac{1}{\lvert b\rvert} = \varepsilon. $$ ゆえに, $(1/b_n)$ は $1/b$ に収束する.
最終更新日：2011年11月02日