解答例 1

有理数列 $(r_n)$ を次のように定める. 各番号 $n=1$, $2$, $\ldots$ に対し, 開区間 $\displaystyle\left(\alpha-\frac{1}{n}, \alpha+\frac{1}{n}\right)$ に属する有理数が存在するから, それを $r_n$ とおく. すると, $$ \lvert r_n - \alpha \rvert < \frac{1}{n}\quad (n=1, 2, \ldots) $$ である.

実数 $\varepsilon>0$ を任意にとる. Archimedesの原理により, ある整数 $N\geq 1$ が存在して, $$ N\cdot\varepsilon > 1. $$ よって, $n\geq N$ を満たす全ての整数 $n$ に対して, $$ \frac{1}{n}\leq\frac{1}{N}<\varepsilon. $$ ゆえに, $n\geq N$ のとき, $$ \lvert r_n-\alpha\rvert <\varepsilon. $$ したがって, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n = \alpha$.

最終更新日：2011年11月02日