解答例 1

$\displaystyle a = \lim_{n\to\infty}a_n$, $\displaystyle b=\lim_{n\to\infty}b_n$ とおく.

任意の実数 $\varepsilon$ に対し, ある番号 $N$ が存在して, $n\geq N$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ \lvert a_n - a\rvert<\frac{\varepsilon}{2},\quad \lvert b_n - b\rvert<\frac{\varepsilon}{2}. $$ すなわち, $$ a-\frac{\varepsilon}{2}<a_n<a+\frac{\varepsilon}{2},\quad b-\frac{\varepsilon}{2}<b_n<b+\frac{\varepsilon}{2}. $$ $a_n\leq b_n$ であるから, $$ a-\frac{\varepsilon}{2}<a_n \leq b_n < b+\frac{\varepsilon}{2}. $$ これより, $a-b<\varepsilon$ が得られる. $b\leq a$ ならば, $0\leq a-b<\varepsilon$であり, $\varepsilon$ は任意だから, $a-b=0$ となる. ゆえに, $a\leq b$.

最終更新日：2011年11月02日