解答例 1

$\displaystyle a = \lim_{n\to\infty} a_n$, $\displaystyle b=\lim_{n\to\infty} b_n$ とおく.

収束する実数列は有界であるから, ある実数 $M_1>0$ が存在して, 全ての番号 $n$ に対して $\lvert a_n\rvert<M_1$ となる. 同様に, ある実数 $M_2>0$ が存在して, 全ての番号 $n$ に対して $\lvert b_n\rvert<M_2$ となる. $M=\max\{M_1, M_2\}$ とおけば, $M>0$ であり, 全ての番号 $n$ に対して $$ \lvert a_n\rvert<M,\quad \lvert b_n\rvert<M $$ となる.

実数 $\varepsilon>0$ を任意にとる. ある番号 $N_1$ が存在して, $n\geq N_1$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ \lvert a_n - a \rvert < \frac{\varepsilon}{2M}. $$ 同様に, ある番号 $N_2$ が存在して, $n\geq N_2$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, $$ \lvert b_n - a \rvert < \frac{\varepsilon}{2M}. $$ $N=\max\{N_1, N_2\}$ とおくと, $n>N$ を満たす全ての番号 $n$ に対して, \begin{align*} \lvert a_nb_n - ab\rvert &= \lvert a_nb_n - a_nb + a_nb - ab\rvert \\ &= \lvert a_n(b_n - b) + (a_n - a)b\rvert \\ &\leq \lvert a_n\rvert \lvert b_n-b\rvert + \lvert a_n-a\rvert \lvert b\rvert \\ &< M\cdot\frac{\varepsilon}{2M} + \frac{\varepsilon}{2M}\cdot M = \varepsilon. \end{align*} ゆえに, $(a_nb_n)$ は $ab$ に収束する.

最終更新日：2011年11月02日