$a$ を実数とするとき, $$ \lim_{x\to\infty} \frac{\lfloor ax\rfloor}{x} = a $$ を証明せよ. ただし, 実数 $x$ に対し, $\lfloor x\rfloor$ は $x$ を超えない最大の整数とする.
解答例 1
任意の実数 $x$ について, $\lfloor ax\rfloor$ は $ax$ を超えない最大の整数だから, $$ \lfloor ax\rfloor \leq ax < \lfloor ax\rfloor + 1. $$ よって, $$ ax - 1 < \lfloor ax\rfloor \leq ax. $$ $x>0$ のとき, $$ a - \frac{1}{x} < \frac{\lfloor ax\rfloor}{x} \leq a. $$ $x\to\infty$ のとき, 左辺は $a$ に収束するから, $\lfloor ax\rfloor/x$ も $a$ に収束する.
最終更新日：2011年11月02日