[q201107041945]  $p$ を素数, $\mathbb{Z}_{p}$ を $p$ 進整数環とする. このとき, 環として $$ \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}\left(\mathbb{Z}\left[\frac{1}{p}\right]/\mathbb{Z}, \,\mathbb{Z}\left[\frac{1}{p}\right]/\mathbb{Z} \right)\cong \mathbb{Z}_{p} $$ が成り立つことを証明せよ. ただし, $$ \mathbb{Z}\left[\frac{1}{p}\right] = \left\{\frac{x}{p^n}\Biggm| x\in\mathbb{Z},\,n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}\right\}, \quad \mathbb{Z}_{\geq 0} = \{n\in\mathbb{Z}\mid n\geq 0 \} $$ とする.

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[q201107041215]  $R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群とする. このとき, $R\otimes_{R}M\cong M$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201107041230]  $M$ を $\mathbb{Z}$ 加群, $m$ を正の整数とする. このとき, $m\mathbb{Z}\otimes_{\mathbb{Z}}M\cong M$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201107041245]  $R$ を整域, $K$ をその商体とするとき, $K\otimes_{R}K\cong K$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201107041300]  $M$ を可除 $\mathbb{Z}$ 加群, $m$ を $2$ 以上の整数とする. このとき, $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\otimes_{\mathbb{Z}}M=0$ が成り立つことを証明せよ.

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