[q201110110300]  $R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $(L_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を $M$ の部分左 $R$ 加群からなる集合系とする. このとき, $\displaystyle\bigcap_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda}$ は $M$ の部分左 $R$ 加群であることを証明せよ.

---

[q201110110400]  $R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群とする. $S$ を $M$ の空でない部分集合, $I$ を $R$ の左イデアルとし, $$ IS = \left\{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} \Biggm| a_i\in I,\,x_i\in S,\,n=1,2,\ldots \right\} $$ とおく. このとき, $IS$ は $M$ の部分左 $R$ 加群になることを証明せよ.

---

[q201110110500]  $R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $S$ を $M$ の空でない部分集合とする. また, $\Gamma$ を $M$ の部分左 $R$ 加群で $S$ を含むもの全体とする. さらに, $$ \langle S\rangle = RS = \left\{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} \Biggm| a_{i}\in R,\,x_{i}\in S,\,n=1,2,\ldots \right\} $$ とおく. このとき, $$ \langle S\rangle = \bigcap_{L\in\Gamma}L $$ が成り立つことを証明せよ.

Keywords: 生成される部分加群

---

[q201110110600]  $R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $(L_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を $M$ の部分左 $R$ 加群からなる集合系とし, $$ \sum_{\lambda\in\Lambda}L_{\lambda} = \left\{ \sum_{\lambda\in\Lambda}x_{\lambda} \Biggm| \begin{array}{l} x_{\lambda}\in L_{\lambda}\,(\forall\lambda\in\Lambda), \\ \mbox{有限個の $\lambda\in\Lambda$ を除いて $x_{\lambda}=0$} \end{array} \right\} $$ とおく. $\displaystyle\sum_{\lambda\in\Lambda}L$ は, $\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}L$ によって生成される $M$ の部分左 $R$ 加群に一致することを証明せよ.

---

[q201110110700]  $R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群とする. また, $\Gamma_0$ を $M$ の部分左 $R$ 加群からなる空でない集合族とし, 包含関係について全順序集合であるものとする. このとき, $\displaystyle\bigcup_{L\in\Gamma_0}L$ は $M$ の部分左 $R$ 加群であることを証明せよ.

---