解答例 1

スカラー倍の写像 $$ R\times M\rightarrow M,\quad (r,x)\mapsto rx $$ は $R$ 上双線型だから, テンソル積の普遍性により, $R$ 準同型 $$ f:R\otimes_{R}M\rightarrow M,\quad r\otimes x\mapsto rx $$ が存在する. 一方, 写像 $$ g:M\rightarrow R\otimes_{R}M,\quad x\mapsto 1\otimes x $$ は $R$ 準同型であり, 任意の $r\in R$, $x\in M$ に対して, \begin{align*} &f\circ g(x) = f(1\otimes x) = x, \\ &g\circ f(r\otimes x) = g(rx) = 1\otimes rx = r\otimes x. \end{align*} ゆえに, $g\circ f$, $f\circ g$ はともに恒等写像である. よって, $f$ は全単射である.

したがって, $f$ は $R$ 上の同型写像である.

最終更新日：2011年11月02日