解答例 1

$\displaystyle M=\mathbb{Z}\left[\frac{1}{p}\right]/\mathbb{Z}$, $H=\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(M,M)$ とおく.

各 $\displaystyle \alpha=(\alpha_n \mid n\in\mathbb{Z}_{\geq 0})\in \varprojlim_{n}\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} = \mathbb{Z}_{p}$ と各 $x\in\mathbb{Z}$, $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$に対して, \begin{align*} &\alpha\cdot\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right) = \frac{a_{k}x}{p^n}+\mathbb{Z}, \quad h=\begin{cases} 0, & \mbox{$x\in p^n\mathbb{Z}$}, \\ n-\mathrm{ord}_p(x), & \mbox{$x\not\in p^n\mathbb{Z}$}, \end{cases} \\ &\alpha_h = a_h+p^h\mathbb{Z}\in\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}, \quad a_h\in\mathbb{Z} \end{align*} によってスカラー倍を定めることにより, $M$ は$\mathbb{Z}_p$加群になる.

実際, まず, 任意の $x$, $x'\in\mathbb{Z}$, $n$, $n'\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ に対して, \begin{align*} \frac{x}{p^n}-\frac{x'}{p^{n'}}\in\mathbb{Z} &\Longrightarrow \mathrm{ord}_p\left(\frac{x}{p^n}\right)-\mathrm{ord}_p\left(\frac{x'}{p^{n'}}\right) = 0 \\ &\Longrightarrow (\mathrm{ord}_p(x)-n) - (\mathrm{ord}_p(x')-n') = 0 \end{align*} であるから, $h$ の値は $M$ に属する類の代表元の取り方によらない. したがって, スカラー倍は well-defined である.

次に, $\alpha\in\mathbb{Z}_p$ に対して, $$ \alpha = \sum_{i=0}^{\infty}a'_ip^i,\quad a'_i\in\{ 0, 1, \ldots, p-1 \} $$ を $p$ 進展開とするとき, $$ a_{n} \equiv \sum_{i=0}^{n}a'_ip^i\;(\mathrm{mod}\;p^n) $$ だから, 任意の $k\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ に対して, $$ k\geq h \Longrightarrow \frac{(a_{k}-a_{h})x}{p^n}\in\mathbb{Z} \Longrightarrow \frac{a_{k}x}{p^n}+\mathbb{Z} = \frac{a_{h}x}{p^n}+\mathbb{Z} $$ となることに注意せよ. すると, 任意の $\alpha$, $\beta\in\mathbb{Z}_p$, 任意の $x$, $y\in\mathbb{Z}$, $n$, $m\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ に対して, $$ \alpha = (a_n+p^n\mathbb{Z}\mid n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}), \quad \beta = (b_n+p^n\mathbb{Z}\mid n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}) $$ とおくと, $$ \alpha+\beta = ((a_n+b_n)+p^n\mathbb{Z}\mid n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}), \quad \alpha\beta = (a_nb_n+p^n\mathbb{Z}\mid n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}) $$ であり, 十分大きい $k\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ をとれば, \begin{align*} (\alpha\beta)\cdot\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right) &= \frac{(a_kb_k)x}{p^n} + \mathbb{Z} = \alpha\cdot\left(\frac{b_kx}{p^n}+\mathbb{Z} \right) \\ &= \alpha\cdot\left(\beta\cdot\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z}\right) \right), \\ (\alpha+\beta)\cdot\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right) &= \frac{(a_k+b_k)x}{p^n} + \mathbb{Z} \\ &= \left(\frac{a_kx}{p^n}+\mathbb{Z} \right) + \left(\frac{b_kx}{p^n}+\mathbb{Z} \right) \\ &= \alpha\cdot\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right) + \beta\cdot\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right), \end{align*} さらに, $m\leq n$ のとき, \begin{align*} \alpha\cdot\left(\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right)+\left(\frac{y}{p^m}+\mathbb{Z} \right)\right) &= \alpha\cdot\left(\frac{x+p^{n-m}y}{p^n}+\mathbb{Z} \right) \\ &= \frac{a_k(x+p^{n-m}y)}{p^n}+\mathbb{Z} \\ &= \left(\frac{a_kx}{p^n}+\mathbb{Z} \right) + \left(\frac{a_kp^{n-m}y}{p^n}+\mathbb{Z} \right) \\ &= \alpha\cdot\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right) + \alpha\cdot\left(\frac{y}{p^m}+\mathbb{Z} \right). \end{align*} $m>n$ のときも同様である. $1_{\mathbb{Z}_p}$, $1_{\mathbb{Z}}$ をそれぞれ $\mathbb{Z}_p$, $\mathbb{Z}$ の単位元とすると, $$ 1_{\mathbb{Z}_p}\cdot\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right) = \frac{1_{\mathbb{Z}}\cdot x}{p^n}+\mathbb{Z} = \frac{x}{p^n}+\mathbb{Z}. $$ 以上より, $M$ は $\mathbb{Z}_p$ 加群をなす.

各 $\alpha\in\mathbb{Z}$ に対して, 写像 $f_{\alpha}:M\rightarrow M$ を, 各 $x\in\mathbb{Z}$, $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ に対して, $$ f_{\alpha}\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z}\right) = \alpha\cdot\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z}\right) $$ とおくことによって定める. 任意の $\alpha\in\mathbb{Z}_p$, $x$, $y\in\mathbb{Z}$, $n$, $m\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ に対して, スカラー倍の性質により, \begin{align*} f_{\alpha}\left(\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right) + \left(\frac{y}{p^m}+\mathbb{Z} \right)\right) &= \alpha\cdot\left(\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right) + \left(\frac{y}{p^m}+\mathbb{Z} \right)\right) \\ &= \alpha\cdot\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right) + \alpha\cdot\left(\frac{y}{p^m}+\mathbb{Z} \right) \\ &= f_{\alpha}\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right) + f_{\alpha}\left(\frac{y}{p^m}+\mathbb{Z} \right). \end{align*} よって, $f_{\alpha}$ は $\mathbb{Z}$ 加群としての準同型であり, 写像 $$ \varphi:\mathbb{Z}_p \rightarrow H,\quad \alpha\mapsto f_{\alpha} $$ が定まる.

$H$ の積が写像の合成によって定まっているとき, $\varphi$ は環準同型になる. 実際, 任意の $\alpha$, $\beta\in\mathbb{Z}_p$ に対して, スカラー倍の性質により, \begin{align*} f_{\alpha+\beta}\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right) &= (\alpha+\beta)\cdot\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right) = \alpha\cdot\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right) + \beta\cdot\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right) \\ &= f_{\alpha}\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right) + f_{\beta}\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right), \\ f_{\alpha\beta}\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right) &= (\alpha\beta)\cdot\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right) = \alpha\cdot\left(\beta\cdot\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right)\right) \\ &= f_{\alpha}\circ f_{\beta}\left(\frac{x}{p^n}+\mathbb{Z} \right). \end{align*}

$f\in H$ とする. 各 $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ に対して, $\displaystyle M_n=\frac{1}{p^n}\mathbb{Z}$ とおくと, $M_n$ は $M$ の部分 $\mathbb{Z}$ 加群なので, $f$ の $M_n$ への制限 $f_n:M_n \rightarrow M$ は $\mathbb{Z}$ 準同型である. 一方, $M$ における $p^n$ 倍写像 $[p^n]$ を考えると, $$ [p^n]\circ f_n(M_n) = f_n(p^nM_n) = f_n(\mathbb{Z}) = \mathbb{Z} $$ であるから, $$ f_n(M_n) \subseteq \mathrm{Ker}([p^n]:M\rightarrow M) = M_n. $$ ゆえに, $f_n$ は $M_n$ の自己準同型であり, ある $a_n\in\mathbb{Z}$ が存在して, $f_n$ は $M_n$ における $a_n$ 倍写像である. $\alpha=(a_n+p^n\mathbb{Z}\mid n\in\mathbb{Z}_{\geq 0})$ とおくと, $\alpha\in\mathbb{Z}_p$. さらに, $f_{\alpha}$ の $M_n$ への制限は $f_n$ に一致する. $\displaystyle M=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}}M_n$ だから, $f_{\alpha}=f$ となる. よって, $\varphi$ は全射である.

$\alpha=(a_n+p^n\mathbb{Z}\mid n\in\mathbb{Z}_{\geq 0})\in\mathrm{Ker}(\varphi)$ とすると, $\varphi(\alpha)=f_{\alpha}$ は零写像なので, 任意の $n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$ に対して, $$ \frac{a_n}{p^n}+\mathbb{Z} = \alpha\cdot\left(\frac{1}{p^n}+\mathbb{Z}\right) = f_{\alpha}\left(\frac{1}{p^n}+\mathbb{Z}\right) = 0+\mathbb{Z}. $$ よって, $a_n\equiv 0\;(\mathrm{mod}\;p^n)$. ゆえに, $\alpha=0$. したがって, $\varphi$ は単射である.

以上より, $\varphi$ が環の同型であることが示された.

最終更新日：2011年11月02日