[q201107041315]  $m$, $n$ を $2$ 以上の整数とし, $d=\gcd(m, n)$ とするとき, $$ \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/d\mathbb{Z} $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201107041330]  $R$ を可換環とするとき, $R[X]\otimes_{R}R[Y]\cong R[X,Y]$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201107041345]  $p$, $l$ を素数とする. $M$ を $\mathbb{Z}$ 加群とし, その位数は $l$ の冪であるとする. このとき, $$ \mathbb{Z}_p\otimes_{\mathbb{Z}}M\cong \begin{cases} 0, & \mbox{$l\neq p$}, \\ M, & \mbox{$l=p$} \end{cases} $$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201107041400]  $p$, $l$ を素数とする. $M$ を $\mathbb{Z}$ 加群とし, その位数は $l$ の冪であるとする. このとき, $$ \mathbb{Z}\left[\frac{1}{p}\right]\otimes_{\mathbb{Z}}M\cong \begin{cases} 0, & \mbox{$l=p$}, \\ M, & \mbox{$l\neq p$} \end{cases} $$ が成り立つことを証明せよ. ただし, $$ \mathbb{Z}\left[\frac{1}{p}\right] = \left\{\frac{a}{p^n} \biggm| a\in\mathbb{Z},\,n\in\mathbb{Z}_{\geq 0}\right\}, \quad \mathbb{Z}_{\geq 0} = \{ n\in\mathbb{Z} \mid n\geq 0 \}. $$

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