解答例 1

写像 $$ K\times K\rightarrow K,\quad (x,y)\mapsto xy $$ は $R$ 上双線型だから, テンソル積の普遍性より, $R$ 準同型 $$ f:K\otimes K\rightarrow K,\quad x\otimes y\mapsto xy $$ が存在する. 一方, 写像 $$ g:K\rightarrow K\otimes_{R}K,\quad x\mapsto 1\otimes x $$ は $R$ 準同型であり, 任意の $x\in K$ に対して, $$ f\circ g(x) = f(1\otimes x) = x. $$ また, 任意の $x$, $y\in K$ に対して, $$ x=\frac{a}{b},\quad y=\frac{c}{d}\quad (a,b,c,d\in R,\;b\neq 0,\;d\neq 0) $$ とおくと, $$ 1\otimes xy = 1\otimes\frac{ac}{bd} = a\otimes\frac{c}{bd} = \frac{ab}{b}\otimes\frac{c}{bd} = \frac{a}{b}\otimes\frac{bc}{bd} = \frac{a}{b}\otimes\frac{c}{d} = x\otimes y. $$ よって, $$ g\circ f(x\otimes y) = g(xy) = 1\otimes xy = x\otimes y. $$ ゆえに, $g\circ f$, $f\circ g$ はともに恒等写像である. よって, $f$ は全単射である.

したがって, $f$ は $R$ 上の同型写像である.

最終更新日：2011年11月02日