解答例 1

写像 $$ m\mathbb{Z}\times M\rightarrow M,\quad (mr,x)\mapsto rx $$ は $\mathbb{Z}$ 上双線型だから, テンソル積の普遍性により, $\mathbb{Z}$ 準同型 $$ f:m\mathbb{Z}\otimes_{\mathbb{Z}}M\rightarrow M,\quad mr\otimes x\mapsto rx $$ が存在する. 一方, 写像 $$ g:M\rightarrow m\mathbb{Z}\otimes_{\mathbb{Z}}M,\quad x\mapsto m\otimes x $$ は $\mathbb{Z}$ 準同型であり, 任意の $r\in \mathbb{Z}$, $x\in M$ に対して, \begin{align*} &f\circ g(x) = f(m\otimes x) = x, \\ &g\circ f(mr\otimes x) = g(rx) = m\otimes rx = mr\otimes x. \\ \end{align*} ゆえに, $g\circ f$, $f\circ g$ はともに恒等写像である. よって, $f$ は全単射である.

したがって, $f$ は $\mathbb{Z}$ 上の同型写像である.

最終更新日：2011年11月02日