Keywords: 零化イデアル
Description: $\mathrm{Ann}(M)$ を $M$ の零化イデアルという.
$R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群とする. このとき, $$ \mathrm{Ann}(M) = \{ r\in R\mid rx = 0\,(\forall x\in M) \} $$ は $R$ の両側イデアルであることを証明せよ.
解答例 1
$0\in\mathrm{Ann}(M)$ より, $\mathrm{Ann}(M)\neq\emptyset$.
$a$, $b\in\mathrm{Ann}(M)$, $r\in R$ とすると, 任意の $x\in M$ に対して, \begin{align*} (a+b)x &= ax+bx = 0 + 0 = 0, \\ (ra)x &= r(ax) = r\cdot 0 = 0, \\ (ar)x &= a(rx) = 0. \end{align*} ゆえに, $a+b$, $ra$, $ar\in\mathrm{Ann}(M)$. したがって, $\mathrm{Ann}(M)$ は $R$ の両側イデアルである.
最終更新日：2011年11月02日