Keywords: 零化イデアル
Description: $x\in M$ に対して, $\mathrm{Ann}(x)$ を $x$ の零化イデアルという.
$R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $x\in M$ とする. このとき, $$ \mathrm{Ann}(x) = \{ r\in R\mid rx = 0 \} $$ は $R$ の左イデアルであることを証明せよ.
解答例 1
$0\in\mathrm{Ann}(x)$ より, $\mathrm{Ann}(x)\neq\emptyset$.
$a$, $b\in\mathrm{Ann}(M)$, $r\in R$ とすると, \begin{align*} (a+b)x &= ax+bx = 0 + 0 = 0, \\ (ra)x &= r(ax) = r\cdot 0 = 0. \end{align*} ゆえに, $a+b$, $ra\in\mathrm{Ann}(M)$. したがって, $\mathrm{Ann}(M)$ は $R$ の左イデアルである.
最終更新日：2011年11月02日