$R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $L$ を $M$ の部分左 $R$ 加群, $(N_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を $M$ の部分 $R$ 加群からなる集合系とする. このとき, $$ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}N_{\lambda}\right):L = \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(N_{\lambda}:L) $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
\begin{align*} a\in\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}N_{\lambda}\right):L &\Longleftrightarrow aL \subseteq \bigcap_{\lambda\in\Lambda}N_{\lambda} \\ &\Longleftrightarrow aL\subseteq N_{\lambda}\,(\forall \lambda\in\Lambda) \\ &\Longleftrightarrow a\in N_{\lambda}:L\,(\forall \lambda\in\Lambda) \\ &\Longleftrightarrow a\in \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(N_{\lambda}:L). \end{align*}
最終更新日：2011年11月02日