$R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $L$, $N$ を $M$ の部分左 $R$ 加群とする. このとき, $$ N:L = R \Longleftrightarrow L\subseteq N $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$N:L=R$ とする. $1\in R$ より, $1\in N:L$. よって, $L=1\cdot L\subseteq N$. 逆に, $L\subseteq N$ とする. 任意の $a\in R$ に対して, $$ aL\subseteq aN\subseteq N. $$ ゆえに, $R\subseteq N:L$. 逆の包含関係は明らかだから, $N:L=R$.
最終更新日：2011年11月02日