$R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $L$, $N$ を $M$ の部分左 $R$ 加群とし, $$ N:L = \{ a\in R\mid aL\subseteq N \} $$ とおく. このとき, $N:L$ は $R$ の両側イデアルであることを証明せよ.
解答例 1
$0\cdot L=\{0\}\subseteq N$ より, $0\in N:L$. 特に, $N:L\neq\emptyset$.
$a$, $b\in N:L$, $r\in R$ とする. \begin{align*} &(a+b)L\subseteq aL+bL\subseteq N, \\ &(ra)L\subseteq r(aL)\subseteq rN\subseteq N, \\ &(ar)L\subseteq a(rL)\subseteq aL\subseteq N. \end{align*} よって, $a+b$, $ra$, $ar\in N:L$.
最終更新日：2011年11月02日