$R$ を環, $M$ を左 $R$ 加群, $L$, $N$ を $M$ の部分左 $R$ 加群とする. このとき, $$ N:(N+L) = N:L $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
任意の $r\in R$ に対して, $$ r(N+L) = rN+rL,\quad rN\subseteq N $$ が成り立つ. よって, \begin{align*} a\in N:(N+L) &\Longleftrightarrow a(N+L)\subseteq N \\ &\Longleftrightarrow aN+aL\subseteq N \\ &\Longleftrightarrow aL\subseteq N \\ &\Longleftrightarrow a\in N:L. \end{align*}
最終更新日：2011年11月02日