$R$ を環, $M$, $M'$ を左 $R$ 加群, $f:M\rightarrow M'$ を $R$ 上の準同型写像とする. また, $N'$ を $M'$ の部分左 $R$ 加群とする. このとき, $f^{-1}(N')$ は $M$ の部分左 $R$ 加群であることを証明せよ.
解答例 1
任意の $x$, $y\in f^{-1}(N')$, $r\in R$ に対して, $f(x)$, $f(y)\in N'$ であり, $N'$ は $M'$ の部分左 $R$ 加群なので, \begin{align*} &f(x-y) = f(x)-f(y) \in N', \\ &f(rx)=r\cdot f(x) \in N'. \end{align*} ゆえに, $x-y$, $rx\in f^{-1}(N')$. よって, $f^{-1}(N')$ は $M$ の部分左 $R$ 加群である.
最終更新日：2011年11月02日