解答例 1

$0'$ を $M'$ の零元とする.

$L\subseteq f^{-1}(f(L))$ は, $$ x\in L \Longrightarrow f(x)\in f(L) \Longrightarrow x\in f^{-1}(f(L)) $$ よりわかる. なお, このことは $f$ の準同型性とは無関係に成り立つ. $f^{-1}(f(L))\subseteq L$ は, \begin{align*} x\in f^{-1}(f(L)) &\Longrightarrow f(x)\in f(L) \\ &\Longrightarrow f(x)=f(a)\;(\exists a\in L) \\ &\Longrightarrow f(x-a)=f(x)-f(a)=0'\;(\exists a\in L) \\ &\Longrightarrow x-a\in \ker{f}\subseteq L\;(\exists a\in L) \\ &\Longrightarrow x\in L \end{align*} よりわかる. ゆえに, $f^{-1}(f(L))=L$.

最終更新日：2011年11月02日