[q201110070600]  環の準同型写像の定義を述べよ.

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[q201110070700]  環のイデアルの定義を述べよ.

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[q201110160400]  環において, $(-1)(-1)=1$ が成り立つことを証明せよ. ただし, $1$ は単位元であるとする.

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[q201110160500]  $R$ を環, $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{m}$, $b_{1}$, $b_{2}$, $\ldots$, $b_{n}$ を $R$ の元とする. このとき, \begin{equation} \left( \sum_{i=1}^{m}a_{i} \right)\left( \sum_{j=1}^{n}b_{j} \right) = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{i}b_{j} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.

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[q201110030600]  $R$ を環, $x$, $y\in R$ とし, $xy=yx$ であるとする. このとき, 任意の正の整数 $n$ に対して, \begin{equation} (x+y)^n = \sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}x^{n-r}y^{r} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ. ただし, $$ \binom{n}{r} = \begin{cases} \displaystyle\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r!}, & \mbox{$1\leq r\leq n$ のとき}, \\ 1, & \mbox{$r=0$ のとき} \end{cases} $$ は二項係数とする.

Keywords: 二項定理

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