解答例 1

背理法で証明する. もし仮に $(a, X)$ が単項イデアルならば, ある $f(X)\in \mathbb{Z}[X]$ が存在して, $$ (a, X) = (f(X)). $$ よって, ある $g(X)\in\mathbb{Z}[X]$ が存在して, \begin{equation} a = f(X)g(X). \tag{1} \end{equation} $\mathbb{Z}[X]$ は整域なので, $$ \deg a = \deg f(X) + \deg g(X). $$ $a\in\mathbb{Z}$, $a\neq 0$ より, $\deg a = 0$. また, (1) より $f(X)\neq 0$, $g(X)\neq 0$. ゆえに, $$ 0 = \deg f(X) + \deg g(X),\quad \deg f(X)\geq 0,\quad \deg g(X)\geq 0. $$ これより, $\deg f(X)=0$ を得る. すなわち, $f(X)\in \mathbb{Z}\setminus\{0\}$. そこで, $b=f(X)$ とおくと, ある $h(X)\in\mathbb{Z}[X]$ が存在して, $$ X = b\cdot h(X). $$ 次数を比較すると, $\deg h(X) = 1$. そこで, $$ h(X) = cX+d,\quad c,\,d\in\mathbb{Z} $$ とおくと, $$ X = b(cX+d) = bcX+bd. $$ ゆえに, $bc=1$. したがって, $b=\pm 1$ となり, $$ (a, X) = (f(X)) = (b) = (1). $$ このとき, ある $u(X)$, $v(X)\in\mathbb{Z}[X]$ が存在して, $$ 1 = a\cdot u(X)+X\cdot v(X). $$ 両辺の次数を比較すると, $u(X)\in \mathbb{Z}$, $v(X)=0$ が得られ, $a=\pm 1$ となって, 矛盾が生じる.

最終更新日：2011年11月02日