解答例 1

Cauchy-Schwarz の不等式 $$ \left(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right)^2 \leq\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right) $$ すなわち, $$ \left\lvert\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right\rvert \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2} $$ を用いると, \begin{align} \sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i)^2 &= \sum_{i=1}^{n}(a_i^2+b_i^2+2a_ib_i) \notag \\ &= \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \sum_{i=1}^{n} b_i^2 + 2\sum_{i=1}^{n}a_ib_i \notag \\ &\leq \sum_{i=1}^{n} a_i^2 + \sum_{i=1}^{n} b_i^2 + 2\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2} \tag{1} \\ &= \left( \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2} \;\right)^2. \notag \end{align} これより, 不等式 ($*$) が得られる.

$a_1=a_2=\cdots=a_n$ または $b_1=b_2=\cdots=b_n$ の場合, ($*$) において等号が成り立つ. 以下, それ以外の場合について, 等号が成り立つための条件を考察する.

($*$) において等号が成り立つとする. そのとき, (1) における不等号で等号が成り立つ. よって, 一般には $$ \sum_{i=1}^{n}a_ib_i \leq \left\lvert\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right\rvert \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2} $$ であるが, 両端の辺が等しいので, \begin{equation} \sum_{i=1}^{n}a_ib_i = \left\lvert\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\right\rvert = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2} \tag{2} \end{equation} となる. (2) の2番目の等式は Cauchy-Schwarz の不等式において等号が成立する場合なので, ある実数 $\alpha\neq 0$ が存在して, $b_i=\alpha a_i$ ($i=1$, $2$, $\ldots$, $n$) と表せる. これと (1) の1番目の等式から, $$ \alpha\sum_{i=1}^{n}a_i^2 = \left\lvert\alpha\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right\rvert = \lvert \alpha\rvert\sum_{i=1}^{n}a_i^2. $$ これより, $\alpha=\lvert\alpha\rvert$ となり, $\alpha>0$ が得られる.

逆に, ある実数 $\alpha>0$ が存在して, $b_i=\alpha a_i$ ($i=1$, $2$, $\ldots$, $n$) が成り立つとすると, \begin{align*} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i)^2} &= \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\bigl(1+\alpha)^2a_i^2} = \sqrt{(1+\alpha)^2\sum_{i=1}^{n}a_i^2} \\ &= (1+\alpha)\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}+\alpha\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2} \\ &= \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}+\sqrt{\alpha^2\sum_{i=1}^{n}a_i^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\alpha^2a_i^2} \\ &= \sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2} \end{align*} となり, ($*$) において等号が成り立つ.

したがって, ($*$) において等号が成立するための必要十分条件は, 次のいずれかが成り立つことである.

• $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$.
• $b_1=b_2=\cdots=b_n=0$.
• ある実数 $\alpha>0$ が存在して, 各 $i=1$, $2$, $\ldots$, $n$ に対して, $b_i = \alpha a_i$.

最終更新日：2011年11月02日