解答例 1

$f$ は環の全射準同型であるから, $f(I_{1})$, $f(I_{2})$, $f(I_{1}+I_{2})$ は $R'$ の左イデアルである. \begin{align*} I_{1}, I_{2}\subseteq I_{1}+I_{2} & \Longrightarrow f(I_{1}), f(I_{2})\subseteq f(I_{1}+I_{2}) \\ & \Longrightarrow f(I_{1}) + f(I_{2})\subseteq f(I_{1}+I_{2}). \end{align*} 逆に, $y\in f(I_{1}+I_{2})$ とする. ある $x_{1}\in I_{1}$, $x_{2}\in I_{2}$ が存在して, $$ y = f(x_{1}+x_{2}) = f(x_{1}) + f(x_{2}) \in f(I_{1}) + f(I_{2}). $$ ゆえに, $f(I_{1}+I_{2})\subseteq f(I_{1}) + f(I_{2})$ となり, 逆の包含関係も成り立つ.

最終更新日：2011年11月02日