解答例 1

$f$ は環の全射準同型であるから, $f(I_{1})$, $f(I_{2})$, $f(I_{1}I_{2})$ は $R'$ の左イデアルである.

$y\in f(I_{1})f(I_{2})$ とする. このとき, $$ y = \sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{(1)})f(x_{i}^{(2)}), \quad x_{i}^{(1)}\in I_{1}, \quad x_{i}^{(2)}\in I_{2} $$ と表される. $f$ が準同型写像であることから, $$ y = f\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{(1)}x_{i}^{(2)}\right) \in f(I_{1}I_{2}). $$ よって, $f(I_{1})f(I_{2})\subseteq f(I_{1}I_{2})$.

逆に, $y\in f(I_{1}I_{2})$ とする. ある $x\in I_{1}I_{2}$ が存在して, $y=f(x)$. また, $$ x = \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{(1)}x_{i}^{(2)}, \quad x_{i}^{(1)}\in I_{1}, \quad x_{i}^{(2)}\in I_{2} $$ と表される. $f$ が準同型写像であることから, $$ y = f(x) = \sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{(1)})f(x_{i}^{(2)}) \in f(I_{1})f(I_{2}). $$ よって, $f(I_{1}I_{2})\subseteq f(I_{1})f(I_{2})$ となり, 逆の包含関係もいえる.

最終更新日：2011年11月02日