解答例 1

$0$ を $R$ の零元とする. $0\in I$ より, $f(0)\in f(I)$. よって, $f(I)\neq\emptyset$.

$y_{1}$, $y_{2}\in f(I)$, $s\in R'$ とする. $f$ は全射であるから, \begin{align*} y_{1} &= f(x_{1}),\quad x_{1}\in I, \\ y_{2} &= f(x_{2}),\quad x_{2}\in I, \\ s &= f(r),\quad r\in R \end{align*} と表される. $f$ が準同型写像であることと $I$ が $R$ の左イデアルであることより, \begin{align*} y_{1}-y_{2} &= f(x_{1})-f(x_{2}) = f(x_{1}-x_{2})\in f(I), \\ sy_{1} &= f(r)f(x_{1}) = f(rx_{1}) \in f(I). \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日