解答例 1

$n$ に関する数学的帰納法により証明する.

$n=1$ のとき, 二項定理により, $$ (x+y)^p = \sum_{r=0}^{p}\binom{p}{r}x^{p-r}y^{r}. $$ $1\leq r\leq p-1$ のとき, $\displaystyle\binom{p}{r}$ は素数 $p$ で割り切れるから, $$ (x+y)^p = \binom{p}{0}x^{p} + \binom{p}{p}y^{p} = x^p + y^p. $$ よって, $n=1$ のとき ($*$) は成り立つ.

$n>1$ とし, $n-1$ のとき ($*$) が成り立つと仮定する. そのとき, \begin{align*} (x+y)^{p^n} &= \bigl( (x+y)^{p^{n-1}} \bigr)^{p} \\ &= (x^{p^{n-1}} + y^{p^{n-1}})^p \\ &= (x^{p^{n-1}})^p + (y^{p^{n-1}})^p \\ &= x^{p^{n}} + y^{p^{n}}. \end{align*} よって, $n$ のときも ($*$) が成り立つ.

したがって, すべての正の整数 $n$ に対して ($*$) の成り立つことが証明された.

最終更新日：2011年11月02日