$$ \newcommand\bm[1]{\boldsymbol{#1}} \renewcommand\limsup{\varlimsup} \renewcommand\liminf{\varliminf} $$

$R$ を環とし, $x$ を $R$ の元とする. このとき, $x$ が冪零元ならば, $1-x$ は $R$ の単元であることを証明せよ.

解答例 1

$x$ が冪零元であると仮定する. ある正の整数 $n$ が存在して, $x^{n}=0$. このとき, \begin{align*} (1-x)(1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1}) &=1-x^{n} = 1, \\ (1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1})(1-x) &=1-x^{n} = 1. \end{align*} よって, $1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1}$ は $1-x$ の逆元である. したがって, $1-x$ は $R$ の単元である.

最終更新日:2011年11月02日

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