$R$ を環, $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{m}$, $b_{1}$, $b_{2}$, $\ldots$, $b_{n}$ を $R$ の元とする. このとき, \begin{equation} \left( \sum_{i=1}^{m}a_{i} \right)\left( \sum_{j=1}^{n}b_{j} \right) = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{i}b_{j} \tag{$*$} \end{equation} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$m$ に関する数学的帰納法により証明する.
$m=1$ の場合を証明するために, 改めて $n$ に関する数学的帰納法を用いる.
$n=1$ のとき, $a_1b_1=a_1b_1$ という自明な式が成り立つ.
$n=2$ のとき, 分配法則により, $a_1(b_1+b_2)=a_1b_1+a_2b_2$ が成り立つ.
$n>2$ のとき, $$ a_{1}\left(\sum_{j=1}^{n-1}b_{j}\right) = \sum_{j=1}^{n-1}a_{1}b_{j} $$ が成り立つと仮定すると, \begin{align*} a_{1}\left(\sum_{j=1}^{n}b_{j}\right) &= a_{1}\left(\sum_{j=1}^{n-1}b_{j} + b_{n}\right) \\ &= a_{1}\sum_{j=1}^{n-1}b_{j} + a_{1}b_{n} \\ &= \sum_{j=1}^{n-1}a_{1}b_{j} + a_{1}b_{n} = \sum_{j=1}^{n}a_{1}b_{j}. \end{align*} よって, $n$ のときも ($*$) が成り立つ. したがって, $(*)$ の $m=1$ の場合がすべての $n$ に対して成り立つ.
一般の場合. $m-1$ のとき, すべての $n$ に対して ($*$) が成り立つと仮定する.
\begin{align*} \left( \sum_{i=1}^{m}a_{i} \right)\left( \sum_{j=1}^{n}b_{j} \right) &= \left( \sum_{i=1}^{m-1}a_{i} + a_{m} \right)\left( \sum_{j=1}^{n}b_{j} \right) \\ &= \left( \sum_{i=1}^{m-1}a_{i} \right)\left( \sum_{j=1}^{n}b_{j} \right) + a_{m}\left( \sum_{j=1}^{n}b_{j} \right) \\ &= \sum_{i=1}^{m-1}\sum_{j=1}^{n}a_{i}b_{j} + \sum_{j=1}^{n}a_{m}b_{j} \\ &= \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{i}b_{j}. \end{align*} よって, $m$ のときも, すべての $n$ に対して ($*$) が成り立つ.
最終更新日：2011年11月02日