[q201109162100]  $(A_n)$, $(B_n)$ を集合の列とするとき, $$ \liminf_{n\to\infty}{(A_n\cup B_n)} \subseteq \limsup_{n\to\infty}A_n\cup \liminf_{n\to\infty}B_n $$ が成り立つことを証明せよ. また, 等号が成り立たない例を挙げよ.

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[q201109201000]  $X$ を普遍集合とし, $(A_n)$ を $X$ の部分集合の列とする. また, \begin{align*} A &= \limsup_{n\to\infty}{A_n} = \bigcap_{i=0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}{A_n}, \\ B &= \liminf_{n\to\infty}{A_n} = \bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcap_{n=i}^{\infty}{A_n} \end{align*} とおく. このとき, 任意の $x\in X$ に対して, \begin{align*} \chi_A(x) &= \limsup_{n\in\mathbb{N}}{\chi_{A_n}(x)}, \\ \chi_B(x) &= \liminf_{n\in\mathbb{N}}{\chi_{A_n}(x)} \end{align*} が成り立つことを証明せよ. ただし, $$ \chi_A:X\longrightarrow\{0, 1\},\quad x \longmapsto \begin{cases} 1, & \mbox{$x\in A$ のとき} \\ 0, & \mbox{$x\in X\setminus A$ のとき} \end{cases} $$ を $X$ における $A$ の定義関数とし, 他も同様とする.

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[q201109100300]  $X$ を空でない有限集合とし, $f:X\rightarrow X$ を写像とする. 正の整数 $k$ に対して, $f^k$ で $k$ 個の $f$ の合成を表すものとする. また, $f^0$ を $X$ 上の恒等写像とする. このとき, ある正の整数 $n$ とある $x\in X$ が存在して, $f^n(x)=x$ が成り立つことを証明せよ.

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[q201109100400]  $A$, $B$ を集合とするとき, $A$ から $B$ への単射が存在し, $B$ から $A$ への単射も存在すれば, $A$ は $B$ と対等であることを証明せよ.

Keywords: Bernstein の定理, ベルンシュタインの定理

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[q201109100600]  $A$ を集合とし, $\mathfrak{P}(A)$ を $A$ の冪集合とする. このとき, $A$ から $\mathfrak{P}(A)$ への全射は存在しないことを証明せよ.

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