解答例 1

$R$ を環, $I$ を $R$ の空でない部分集合とする. $I$ が次の条件を満たすとき, $I$ を $R$ の左イデアルという.

(i) 任意の $x$, $y\in I$ に対して, $x-y\in I$.

(ii) 任意の $x\in I$, $r\in R$ に対して, $rx\in I$.

なお, 条件 (i) は, $I$ が加法について $R$ の部分群であることと同値である.

条件 (ii) の代わりに,

(ii$'$) 任意の $x\in I$, $r\in R$ に対して, $xr\in I$.

を満たすとき, $I$ を $R$ の右イデアルという.

$I$ が左イデアルかつ右イデアルであるとき, $I$ は $R$ の両側イデアル, あるいは単にイデアルという.

$R$ が可換環である場合には, 左イデアル, 右イデアル, 両側イデアルの概念はすべて一致する.

$R$ を環とする. $\{0\}$ は $R$ の両側イデアルである. これを零イデアルという. また, $R$ 自身は $R$ の両側イデアルである. これらを自明なイデアルという. それ以外の $R$ の左イデアルを真の左イデアルという. 真の右イデアル, 真の両側イデアルも同様に定義される.

最終更新日：2011年11月02日