解答例 1

まず, $$ a = bq_{1}+r_{0},\quad 0\leq r_{0}<b $$ を満たす整数 $q_{1}$, $r_{0}$ がただ1組だけ存在する. さらに, 各 $n\geq 1$ に対して, $$ q_{n} = bq_{n+1}+r_{n},\quad 0\leq r_{n}<b $$ を満たす整数 $q_{n+1}$, $r_{n}$ がただ1組だけ存在する. このとき, $q_{n}\geq 0$ であるが, もしすべての整数 $n\geq 1$ に対して $q_{n}>0$ ならば, $q_{n}$ の定め方から, 無限に続く減少列 $$ a>q_{1}>q_{2}>\cdots >q_{n}>q_{n+1}>\cdots >0 $$ が得られる. これは $a$ 以下の正の整数が有限個しかないことに反する. したがって, ある番号 $m$ が存在して, $q_{m+1}=0$, $q_{m}=r_{m}$となり, \begin{align*} a &= ((\cdots((r_{m}b + r_{m-1})b+r_{m-2})+\cdots)+r_{1})+r_{0} \\ &= r_{m}b^m + r_{m-1}b^{m-1}+\cdots+r_{1}b+r_{0}, \\ 0&\leq r_{i}< b \quad (0\leq i\leq m) \end{align*} となる.

最終更新日：2011年11月02日