$a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $a_{n}$ を整数, $m$ を正の整数とする. このとき, $$ \gcd(ma_1,\,\ldots,\,ma_n) = m\cdot\gcd(a_1,\,\ldots,\,a_n) $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$d = \gcd(a_1,\,\ldots,\,a_n)$, $d' = \gcd(ma_1,\,\ldots,\,ma_n)$とおく.
適当な $u_1$, $\ldots$, $u_n\in\mathbb{Z}$ をとって, $$ d = a_1u_1 + \cdots + a_nu_n $$ と書き, 両辺に $m$ を掛けると, $$ md = (ma_1)u_1 + \cdots + (ma_n)u_n. $$ ゆえに, $d'\mid md$.
逆に, 適当な $u_1'$, $\ldots$, $u_n'\in\mathbb{Z}$ をとって, $$ d' = (ma_1)u_1' + \cdots + (ma_n)u_n' $$ と書けば, $$ d' = m(a_1u_1' + \cdots + a_nu_n'). $$ $a_1u_1' + \cdots + a_nu_n'$ は $d$ で割り切れるから, $md\mid d'$. したがって, $d' = md$.
最終更新日：2011年11月02日