[q201109281500]  整列可能定理から選択公理を導け.

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[q201110080600]  距離空間の定義を述べよ.

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[q201110080700]  $\mathbb{R}^{n}$ を実数全体からなる集合 $\mathbb{R}$ の $n$ 個の直積集合とする. $\mathbb{R}^{n}$ の2つの元 $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$, $y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$ に対して, $$ d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2} $$ によって距離 $d$ を定義すれば, $\mathbb{R}^n$ は距離空間になる. このことを証明せよ.

Keywords: Euclid 空間, Euclid距離

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[q201110080800]  $\displaystyle l^{2} = \Biggl\{ (x_{n}) \Biggm| x_{n}\in\mathbb{R},\,\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}^2<\infty \Biggr\}$ とする. $x=(x_{n})$, $y=(y_{n})\in l^{2}$ に対して, $$ d(x, y) = \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}(x_{n}-y_{n})^2} $$ によって距離 $d$ を定義すれば, $l^2$ は距離空間になる. このことを証明せよ.

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[q201110080900]  $X$ を空でない集合とし, $B(X)$ を $X$ 上で定義された有界な実数値関数全体からなる集合とする. $f$, $g\in B(X)$ に対して, $$ d(f, g) = \sup_{x\in X}\lvert f(x)-g(x)\rvert $$ によって距離 $d$ を定義すれば, $B(X)$ は距離空間になる. このことを証明せよ.

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