$X$ を空でない集合とし, $B(X)$ を $X$ 上で定義された有界な実数値関数全体からなる集合とする. $f$, $g\in B(X)$ に対して, $$ d(f, g) = \sup_{x\in X}\lvert f(x)-g(x)\rvert $$ によって距離 $d$ を定義すれば, $B(X)$ は距離空間になる. このことを証明せよ.
解答例 1
まず, \begin{align*} d(f, g) &= \sup_{x\in X}\lvert f(x)-g(x)\rvert \\ &\leq \sup_{x\in X}\bigl(\lvert f(x)\rvert+\lvert g(x)\rvert\bigr) \\ &\leq \sup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert + \sup_{x\in X}\lvert g(x)\rvert <\infty \end{align*} であるから, 実数値関数 $d(f, g)$ は定まる.
任意の $f$, $g\in B(X)$ に対して, $$ d(f, g)=0,\quad d(f, g)=d(g, f) $$ は明らかであり, \begin{align*} d(f, g)=0 &\Longleftrightarrow \sup_{x\in X}\lvert f(x)-g(x)\rvert = 0 \\ &\Longleftrightarrow \lvert f(x)-g(x)\rvert = 0\;(\forall x\in X) \\ &\Longleftrightarrow f(x)=g(x)\;(\forall x\in X) \\ &\Longleftrightarrow f=g. \end{align*} さらに, 任意の $f$, $g$, $h\in B(X)$ に対して, \begin{align*} d(f, h) &= \sup_{x\in X}\lvert f(x)-h(x)\rvert \\ &= \sup_{x\in X}\bigl\lvert (f(x)-g(x))+(g(x)-h(x))\bigr\rvert \\ &\leq\sup_{x\in X}\bigl(\lvert f(x)-g(x)\rvert + \lvert g(x)-h(x)\rvert\bigr) \\ &\leq\sup_{x\in X}\lvert f(x)-g(x)\rvert + \sup_{x\in X}\lvert g(x)-h(x)\rvert \\ &\leq d(f, g) + d(g, h). \end{align*}
最終更新日：2011年11月02日