解答例 1

定義の仕方から, $d(x, y)$ は実数値関数である.

任意の $x=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$, $y=(y_1, y_2, \ldots, y_n)\in\mathbb{R}^{n}$ に対して, $$ d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}\geq 0. $$ また, \begin{align*} d(x, y) = 0 &\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2 = 0 \\ &\Longleftrightarrow (x_i-y_i)^2 = 0\;(i=1, 2, \ldots n) \\ &\Longleftrightarrow x_i=y_i\;(i=1, 2, \ldots n) \\ &\Longleftrightarrow x=y. \end{align*} さらに, $$ d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-x_i)^2} = d(y, x). $$

$x=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$, $y=(y_1, y_2, \ldots, y_n)$, $z=(z_1, z_2, \ldots, z_n)\in\mathbb{R}^{n}$ とすると, \begin{align*} d(x, z) &= \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-z_i)^2} \\ &= \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\bigl((x_i-y_i)+(y_i-z_i)\bigr)^2} \\ &\leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-z_i)^2} \\ &= d(x, y) + d(y, z). \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日