解答例 1

$X$ を集合とし, 実数値関数 $d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$ が定義されているものとする. $d$ が以下の条件 (i) ～ (iv) を満たすとき, $d$ を $X$ 上の距離関数といい, $X$ と $d$ との組 $(X, d)$ を距離空間という.

(i) 任意の $x$, $y\in X$ に対して, $$ d(x, y)\geq 0. $$

(ii) 任意の $x$, $y\in X$ に対して, $$ d(x, y)=0 \Longleftrightarrow x=y. $$

(iii) 任意の $x$, $y\in X$ に対して, $$ d(x, y) = d(y, x). $$

(iv) 任意の $x$, $y$, $z\in X$ に対して, $$ d(x, z)\leq d(x, y) + d(y, z). $$ これを三角不等式という.

距離 $d$ を明示しなくても誤解のないときは, $X$ を距離空間という.

$(X, d)$ を距離空間とするとき, $X$ の元を点という. また, 各 $x$, $y\in X$ に対して, $d(x, y)$ を $x$ と $y$ との距離という.

最終更新日：2011年11月02日