解答例 1

まず, 任意の $x=(x_{n})$, $y=(y_{n})\in l^{2}$ に対して, $$ \sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^2} \leq \sqrt{\sum_{k=1}^{n}x_{k}^2} + \sqrt{\sum_{k=1}^{n}y_{k}^2} \quad (n=1, 2, \ldots) $$ が成り立つ. また, \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\left( \sqrt{\sum_{k=1}^{\infty}x_{k}^2} + \sqrt{\sum_{k=1}^{\infty}y_{k}^2}\;\right) & = \lim_{n\to\infty}\sqrt{\sum_{k=1}^{\infty}x_{k}^2} + \lim_{n\to\infty}\sqrt{\sum_{k=1}^{\infty}y_{k}^2} \\ & = \sqrt{\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}x_{k}^2} + \sqrt{\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}y_{k}^2} \\ & = \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}^2} + \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}y_{n}^2} < \infty. \end{align*} ゆえに, \begin{align*} \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}(x_{n}-y_{n})^2} &= \sqrt{\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^2} \\ &= \lim_{n\to\infty}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^2}<\infty. \end{align*} したがって, 実数値関数 $d(x, y)$ は定まる.

任意の $x=(x_{n})$, $y=(y_{n})\in l^{2}$ に対して, $$ d(x, y)\geq 0,\quad d(x, y) = d(y, x) $$ は明らかである. また, $d(x, y)=0$ とすると, 各 $n=1$, $2$, $\ldots$ に対して, \begin{align*} 0 &= \sum_{k=1}^{\infty}(x_{k}-y_{k})^2 \\ &= \sum_{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^2 + \sum_{n+1}^{\infty}(x_{k}-y_{k})^2. \end{align*} $\displaystyle\sum_{n+1}^{\infty}(x_{k}-y_{k})^2\geq 0$ であるから, $$ \sum_{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^2 = 0. $$ ゆえに, $x_n=y_n$ ($n=1$, $2$, $\ldots$) となり, $x=y$ となる. 逆は明らかである.

任意の $x=(x_{n})$, $y=(y_{n})$, $z=(z_{n})\in l^{2}$ に対して, \begin{align*} \sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-z_{k})^2} & = \sqrt{\sum_{k=1}^{n}\bigl((x_{k}-y_{k}) + (y_{k}-z_{k})\bigr)^2} \\ &\leq \sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^2} + \sqrt{\sum_{k=1}^{n}(y_{k}-z_{k})^2} \quad (n=1, 2, \ldots). \end{align*} よって, \begin{align*} d(x, z) &= \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}(x_{n}-z_{n})^2} = \lim_{n\to\infty}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-z_{k})^2} \\ &\leq \lim_{n\to\infty}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^2} + \lim_{n\to\infty}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(y_{k}-z_{k})^2} \\ &= \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}(x_{n}-y_{n})^2} + \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty}(y_{n}-z_{n})^2} \\ &= d(x, y) + d(y, z). \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日