$X$ を普遍集合とし, $(A_n)$ を $X$ の部分集合の列とする. また, \begin{align*} A &= \limsup_{n\to\infty}{A_n} = \bigcap_{i=0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}{A_n}, \\ B &= \liminf_{n\to\infty}{A_n} = \bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcap_{n=i}^{\infty}{A_n} \end{align*} とおく. このとき, 任意の $x\in X$ に対して, \begin{align*} \chi_A(x) &= \limsup_{n\in\mathbb{N}}{\chi_{A_n}(x)}, \\ \chi_B(x) &= \liminf_{n\in\mathbb{N}}{\chi_{A_n}(x)} \end{align*} が成り立つことを証明せよ. ただし, $$ \chi_A:X\longrightarrow\{0, 1\},\quad x \longmapsto \begin{cases} 1, & \mbox{$x\in A$ のとき} \\ 0, & \mbox{$x\in X\setminus A$ のとき} \end{cases} $$ を $X$ における $A$ の定義関数とし, 他も同様とする.
解答例 1
$x\in X$ とする. \begin{align*} \chi_A(x) = 1 &\Longleftrightarrow x\in A \\ &\Longleftrightarrow \mbox{ある $i_0\in\mathbb{N}$ が存在して, $\displaystyle x\in\bigcap_{i=i_0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}{A_n}$} \\ &\Longleftrightarrow \mbox{ある $i_0\in\mathbb{N}$ が存在して, } \\ &\qquad\qquad\mbox{$i\geq i_0$ を満たす全ての $i\in\mathbb{N}$ に対して, $\displaystyle x\in\bigcup_{n=i}^{\infty}{A_n}$} \\ &\Longleftrightarrow \mbox{ある $i_0\in\mathbb{N}$ が存在して, } \\ &\qquad\qquad\mbox{$i\geq i_0$ を満たす全ての $i\in\mathbb{N}$ に対して, $\displaystyle \sup_{n\geq i}{\chi_{A_n}(x)}=1$} \\ &\Longleftrightarrow\mbox{任意の実数 $\varepsilon>0$ に対して, ある $i(\varepsilon)\in\mathbb{N}$ が存在して, } \\ &\qquad\qquad\mbox{$i\geq i(\varepsilon)$ を満たす全ての $i\in\mathbb{N}$ に対して, $\displaystyle 0\leq 1-\sup_{n\geq i}{\chi_{A_n}(x)}<\varepsilon$} \\ &\Longleftrightarrow \limsup_{n\to\infty}{\chi_{A_n}(x)} =\lim_{i\to\infty}\left(\sup_{n\geq i}{\chi_{A_n}(x)}\right) = 1. \end{align*} ここで, 最後から2番目の同値について, $\Rightarrow$ は論理的に明らかである. 逆に, $\varepsilon=1$ に対して $i_0=i(\varepsilon)$ とおくことにより, $\Leftarrow$ もいえる.
また, \begin{align*} \chi_B(x) = 1 &\Longleftrightarrow x\in B \\ &\Longleftrightarrow \mbox{ある $i_0\in\mathbb{N}$ が存在して, $\displaystyle x\in\bigcap_{n=i_0}^{\infty}A_n$} \\ &\Longleftrightarrow \mbox{ある $i_0\in\mathbb{N}$ が存在して, } \\ &\qquad\qquad\mbox{$i\geq i_0$ を満たす全ての $i\in\mathbb{N}$ に対して, $\displaystyle x\in\bigcap_{n=i}^{\infty}{A_n}$} \\ &\Longleftrightarrow \mbox{ある $i_0\in\mathbb{N}$ が存在して, } \\ &\qquad\qquad \mbox{$i\geq i_0$ を満たす全ての $i\in\mathbb{N}$ に対して, $\displaystyle \inf_{n\geq i}{\chi_{A_n}(x)}=1$} \\ &\Longleftrightarrow\mbox{任意の実数 $\varepsilon>0$ に対して, ある $i(\varepsilon)\in\mathbb{N}$ が存在して, } \\ &\qquad\qquad\mbox{$i\geq i(\varepsilon)$ を満たす全ての $i\in\mathbb{N}$ に対して, $\displaystyle 0\leq 1-\inf_{n\geq i}{\chi_{A_n}(x)}<\varepsilon$} \\ &\Longleftrightarrow \liminf_{n\to\infty}{\chi_{A_n}(x)} =\lim_{i\to\infty}\left(\inf_{n\geq i}{\chi_{A_n}(x)}\right) = 1. \end{align*} ここで, 最後から2番目の同値については, $\limsup$ のときと同様である.
最終更新日：2011年11月02日