解答例 1

まず, \begin{align*} &\limsup_{n\to\infty}{A_n}=\bigcap_{i=0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}{A_n},\quad \liminf_{n\to\infty}{B_n}=\bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcap_{n=i}^{\infty}{B_n}, \\ &\liminf_{n\to\infty}{(A_n\cup B_n)}=\bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcap_{n=i}^{\infty}{(A_n\cup B_n)} \end{align*} であることを確認しておく.

$\displaystyle x\in \liminf_{n\to\infty}{(A_n\cup B_n)}$ とすると, ある $i_1\in\mathbb{N}$ が存在して, 任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して, $$ n\geq i_1 \Longrightarrow x\in A_n\cup B_n. $$ いま, $\displaystyle x\not\in\limsup_{n\to\infty}A_n$ と仮定すると, ある $i_2\in\mathbb{N}$ が存在して, 任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して, $$ n\geq i_2 \Longrightarrow x\not\in A_n. $$ $i_0=\max\{i_1, i_2\}$ とおくと, 任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して, \begin{align*} n\geq i_0 &\Longrightarrow\mbox{$x\in A_n\cup B_n$ かつ $x\not\in A_n$} \\ &\Longrightarrow x\in B_n. \end{align*} よって, $\displaystyle x\in\liminf_{n\to\infty}{B_n}$. ゆえに, $\displaystyle x\in\limsup_{n\to\infty}A_n$ または $\displaystyle x\in\liminf_{n\to\infty}{B_n}$. すなわち, $\displaystyle x\in\limsup_{n\to\infty}A_n\cup \liminf_{n\to\infty}{B_n}$.

$A$, $B$ を集合とし, $B\subsetneq A$ なるものとする. 集合の列 $(A_n)$ を $$ A_n = \begin{cases} A, & \mbox{$n=2k$ ($k=0, 1, 2, \ldots$)} \\ B, & \mbox{$n=2k+1$ ($k=0, 1, 2, \ldots$)} \end{cases} $$ とおくことによって定めると, \begin{align*} &\liminf_{n\to\infty}{(A_n\cup A_n)} = \liminf_{n\to\infty}A_n = A\cap B = B, \\ &\limsup_{n\to\infty}A_n = A\cup B = A, \\ &\limsup_{n\to\infty}A_n\cup \liminf_{n\to\infty}A_n = A\cup B = A \end{align*} となり, 等号が成り立たない例になっている.

最終更新日：2011年11月02日