$(A_n)$, $(B_n)$ を集合の列とする. $\displaystyle\lim_{n\to\infty}A_n$, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}B_n$ がともに存在するとき, \begin{align*} \lim_{n\to\infty}(A_n\cup B_n) &= \lim_{n\to\infty}A_n\cup \lim_{n\to\infty}B_n, \\ \lim_{n\to\infty}(A_n\cap B_n) &= \lim_{n\to\infty}A_n\cap \lim_{n\to\infty}B_n \end{align*} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
\begin{align*} \lim_{n\to\infty}A_n\cup \lim_{n\to\infty}B_n &= \liminf_{n\to\infty}A_n\cup \liminf_{n\to\infty}B_n \\ &\subseteq \liminf_{n\to\infty}{(A_n\cup B_n)} \\ &\subseteq \limsup_{n\to\infty}{(A_n\cup B_n)} \\ &= \limsup_{n\to\infty}A_n\cup \limsup_{n\to\infty}B_n \\ &= \lim_{n\to\infty}A_n\cup \lim_{n\to\infty}B_n \end{align*} であるから, \begin{align*} \lim_{n\to\infty}(A_n\cup B_n) &= \limsup_{n\to\infty}{(A_n\cup B_n)} = \liminf_{n\to\infty}{(A_n\cup B_n)} \\ &= \lim_{n\to\infty}A_n\cup \lim_{n\to\infty}B_n. \end{align*} また, \begin{align*} \lim_{n\to\infty}A_n\cap \lim_{n\to\infty}B_n &= \liminf_{n\to\infty}A_n\cap \liminf_{n\to\infty}B_n \\ &= \liminf_{n\to\infty}{(A_n\cap B_n)} \\ &\subseteq \limsup_{n\to\infty}{(A_n\cap B_n)} \\ &\subseteq \limsup_{n\to\infty}A_n\cap \limsup_{n\to\infty}B_n \\ &= \lim_{n\to\infty}A_n\cap \lim_{n\to\infty}B_n \end{align*} であるから, \begin{align*} \lim_{n\to\infty}(A_n\cap B_n) &= \limsup_{n\to\infty}{(A_n\cap B_n)} = \liminf_{n\to\infty}{(A_n\cap B_n)} \\ &= \lim_{n\to\infty}A_n\cap \lim_{n\to\infty}B_n. \end{align*}
最終更新日：2011年11月02日