解答例 1

任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して $A_n\cap B_n\subseteq A_n$ であるから, $$ \limsup_{n\to\infty}{(A_n\cap B_n)} \subseteq \limsup_{n\to\infty}A_n. $$ また, 任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して $A_n\cap B_n\subseteq B_n$ であるから, $$ \limsup_{n\to\infty}{(A_n\cap B_n)} \subseteq \limsup_{n\to\infty}B_n. $$ ゆえに, $$ \limsup_{n\to\infty}{(A_n\cap B_n)} \subseteq \limsup_{n\to\infty}A_n\cap \limsup_{n\to\infty}B_n $$ が成り立つ.

$A$, $B$ を集合とし, $B\subsetneq A$ なるものとする. 集合の列 $(A_n)$, $(B_n)$ を, それぞれ \begin{align*} A_n &= \begin{cases} A, & \mbox{$n=2k$ ($k=0, 1, 2, \ldots$)} \\ B, & \mbox{$n=2k+1$ ($k=0, 1, 2, \ldots$)} \end{cases} \\ B_n &= \begin{cases} B, & \mbox{$n=2k$ ($k=0, 1, 2, \ldots$)} \\ A, & \mbox{$n=2k+1$ ($k=0, 1, 2, \ldots$)} \end{cases} \end{align*} とおくことによって定めると, \begin{align*} &\limsup_{n\to\infty}{(A_n\cap B_n)} = A\cap B = B, \\ &\limsup_{n\to\infty}A_n = \limsup_{n\to\infty}B_n = A\cup B = A \end{align*} となり, 等号が成り立たない例になっている.

最終更新日：2011年11月02日