解答例 1

任意の $i\in\mathbb{N}$ に対して, $(E_n)$ の定め方より \begin{align*} E_{i} &= E_{i+2} = E_{i+4} = \cdots, \\ E_{i+1} &= E_{i+3} = E_{i+5} = \cdots \end{align*} であることに注意すると, \begin{align*} x\in \bigcup_{n=i}^{\infty}E_n &\Longleftrightarrow \mbox{ある $n\in\mathbb{N}$ が存在して, $n\geq i$ かつ $x\in E_n$} \\ &\Longleftrightarrow \mbox{$x\in E_i$ または $x\in E_{i+1}$} \\ &\Longleftrightarrow \mbox{$x\in A$ または $x\in B$} \\ &\Longleftrightarrow x\in A\cup B, \\ x\in \bigcap_{n=i}^{\infty}E_n &\Longleftrightarrow \mbox{任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して, $n\geq i$ ならば $x\in E_n$} \\ &\Longleftrightarrow \mbox{$x\in E_i$ かつ $x\in E_{i+1}$} \\ &\Longleftrightarrow \mbox{$x\in A$ かつ $x\in B$} \\ &\Longleftrightarrow x\in A\cap B \end{align*} であるから, $$ \bigcup_{n=i}^{\infty}E_n = A\cup B,\quad \bigcap_{n=i}^{\infty}E_n = A\cap B. $$ ゆえに, \begin{align*} \limsup_{n\to\infty}E_n &= \bigcap_{i=0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}E_n = \bigcap_{i=0}^{\infty}(A\cup B) = A\cup B, \\ \liminf_{n\to\infty}E_n &= \bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcap_{n=i}^{\infty}E_n = \bigcup_{i=0}^{\infty}(A\cap B) = A\cap B. \end{align*}

最終更新日：2011年11月02日