解答例 1

まず, \begin{align*} &\limsup_{n\to\infty}{A_n}=\bigcap_{i=0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}{A_n},\quad \liminf_{n\to\infty}{B_n}=\bigcup_{i=0}^{\infty}\bigcap_{n=i}^{\infty}{B_n}, \\ &\limsup_{n\to\infty}{(A_n\cap B_n)}=\bigcap_{i=0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}{(A_n\cup B_n)} \end{align*} であることを確認しておく.

$\displaystyle x\in\limsup_{n\to\infty}A_n\cap \liminf_{n\to\infty}B_n$ とする. $\displaystyle x\in\limsup_{n\to\infty}A_n$ かつ $\displaystyle x\in\liminf_{n\to\infty}B_n$ である. $\displaystyle x\in\liminf_{n\to\infty}B_n$ より, ある $i_0\in\mathbb{N}$ が存在して, 任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して, $$ n\geq i_0 \Longrightarrow x\in B_n. $$ また, $\displaystyle x\in\limsup_{n\to\infty} A_n$ より, 任意の $i\in\mathbb{N}$ に対して, ある $n(i)\in\mathbb{N}$ が存在して, $n(i)\geq i$ かつ $x\in A_{n(i)}$ が成り立つ. ゆえに, $i\geq i_0$ を満たす任意の $i\in\mathbb{N}$ に対して, ある $n(i)\in\mathbb{N}$ が存在して, $n(i)\geq i$ かつ $x\in A_{n(i)}\cap B_{n(i)}$ となる. よって, $$ x \in \bigcap_{i=i_0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}{(A_n\cap B_n)} = \bigcap_{i=0}^{\infty}\bigcup_{n=i}^{\infty}{(A_n\cap B_n)} = \limsup_{n\to\infty}{(A_n\cap B_n)} $$ である.

$A$, $B$ を集合とし, $B\subsetneq A$ なるものとする. 集合の列 $(A_n)$ を $$ A_n = \begin{cases} A, & \mbox{$n=2k$ ($k=0, 1, 2, \ldots$)} \\ B, & \mbox{$n=2k+1$ ($k=0, 1, 2, \ldots$)} \end{cases} $$ とおくことによって定めると, \begin{align*} &\limsup_{n\to\infty}{(A_n\cup A_n)} = \limsup_{n\to\infty}A_n = A\cup B = A, \\ &\liminf_{n\to\infty}A_n = A\cap B = B, \\ &\limsup_{n\to\infty}A_n\cap \liminf_{n\to\infty}A_n = A\cap B = B \end{align*} となり, 等号が成り立たない例になっている.

最終更新日：2011年11月02日