$X$, $Y$ を集合, $f:X\rightarrow Y$ を写像, $(B_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda)$ を $Y$ の部分集合系とする. このとき, $$ f^{-1}\left( \bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda} \right) = \bigcup_{\lambda\in\Lambda}f^{-1}(B_{\lambda}) $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
任意の $\lambda\in \Lambda$ に対して, $$ B_{\lambda}\subseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda} $$ であるから, $$ f^{-1}(B_{\lambda})\subseteq f^{-1}\left( \bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda} \right). $$ したがって, $$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda}f^{-1}(B_{\lambda}) \subseteq f^{-1}\left( \bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda} \right). $$
逆に, $\displaystyle x\in f^{-1}\left( \bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda} \right)$ とすると, $\displaystyle f(x)\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}$. このとき, ある $\lambda_0\in\Lambda$ が存在して, $f(x)\in B_{\lambda_0}$. ゆえに, $$ x\in f^{-1}(B_{\lambda_0}) \subseteq \bigcup_{\lambda\in\Lambda}f^{-1}(B_{\lambda}). $$ よって, 逆の包含関係もいえる.
最終更新日：2011年11月02日