$X$, $Y$ を集合, $f:X→Y$ を単射, $(A_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda)$ を $X$ の部分集合系とする. このとき, $$ f\left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} \right) = \bigcap_{\lambda\in\Lambda}f(A_{\lambda}) $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$\subseteq$ は一般の写像に対して成り立つ.
$\displaystyle y\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f(A_{\lambda})$ とする. 各々の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $y\in f(A_{\lambda})$ であるから, ある $x_{\lambda}\in A_{\lambda}$ が存在して, $y=f(x_{\lambda})$ となる. いま, $\lambda_{0}\in\Lambda$ を1つ固定する. $f$ は単射だから, 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $$ f(x_{\lambda_{0}}) = y = f(x_{\lambda}) \Longrightarrow x_{\lambda_{0}} = x_{\lambda} \in A_{\lambda}. $$ よって, $\displaystyle x_{\lambda_{0}}\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$. ゆえに, $\displaystyle y=f(x_{\lambda_{0}})\in f\left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} \right)$. したがって, 逆の包含関係もいえる.
最終更新日：2011年11月02日