$(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を集合系とする. 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $A_{\lambda}$ は空でないとする. このとき, 任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, 射影 $$ \mathrm{pr}_{\lambda}:\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\longrightarrow A_{\lambda},\quad (a_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda) \longmapsto a_{\lambda} $$ は全射であることを証明せよ.
解答例 1
$\displaystyle A=\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$ とおく.
$\lambda_0\in\Lambda$ とする. $b_0\in A_{\lambda_0}$ を任意にとる. 選択公理により, $A$ の元 $b=(b_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda)$ が存在する. そこで, $A$ の元 $a=(a_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda)$ を $$ a_{\lambda} = \begin{cases} b_0, & \lambda = \lambda_0 \\ b_{\lambda}, & \lambda\neq\lambda_0 \end{cases} $$ によって定めれば, $\mathrm{pr}_{\lambda_0}(a)=b_0$ となる. よって, $\mathrm{pr}_{\lambda_0}$ は全射である.
最終更新日：2011年11月02日