$X$ を普遍集合とし, $(A_n)$ を $X$ の部分集合の列とする. また, $\displaystyle A = \bigcup_{n=0}^{\infty}{A_n}$, $\displaystyle B = \bigcap_{n=0}^{\infty}{A_n}$ とおく. このとき, 任意の $x\in X$ に対して, \begin{align*} \chi_A(x) &= \sup_{n\in\mathbb{N}}{\chi_{A_n}(x)}, \\ \chi_B(x) &= \inf_{n\in\mathbb{N}}{\chi_{A_n}(x)} \end{align*} が成り立つことを証明せよ. ただし, $$ \chi_A:X\longrightarrow\{0, 1\},\quad x \longmapsto \begin{cases} 1, & \mbox{$x\in A$ のとき} \\ 0, & \mbox{$x\in X\setminus A$ のとき} \end{cases} $$ を $X$ における $A$ の定義関数とし, 他も同様とする.
解答例 1
$x\in X$ とする. 集合の定義関数が $0$ と $1$ のどちらか一方の値のみをとることに注意すると, \begin{align*} \chi_A(x) = 1 &\Longleftrightarrow x\in A \\ &\Longleftrightarrow \mbox{ある $n\in\mathbb{N}$ が存在して, $x\in A_n$} \\ &\Longleftrightarrow \mbox{ある $n\in\mathbb{N}$ が存在して, $\chi_{A_n}(x)=1$} \\ &\Longleftrightarrow 1\in\{\chi_{A_n}(x)\mid n\in\mathbb{N}\} \subseteq \{0, 1\} \\ &\Longleftrightarrow \sup_{n\in\mathbb{N}}{\chi_{A_n}(x)} = 1. \end{align*} また, \begin{align*} \chi_B(x) = 1 &\Longleftrightarrow x\in B \\ &\Longleftrightarrow \mbox{任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して, $x\in A_n$} \\ &\Longleftrightarrow \mbox{任意の $n\in\mathbb{N}$ に対して, $\chi_{A_n}(x)=1$} \\ &\Longleftrightarrow \{\chi_{A_n}(x)\mid n\in\mathbb{N}\} = \{1\} \\ &\Longleftrightarrow \inf_{n\in\mathbb{N}}{\chi_{A_n}(x)} = 1. \end{align*}
最終更新日：2011年11月02日