$(A_{\lambda}\mid \lambda\in\Lambda)$ を集合系, $B$ を集合とする. このとき, $$ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B = \bigcup_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cap B) $$ が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $$ A_{\lambda}\subseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} $$ であるから, $$ A_{\lambda}\cap B\subseteq\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B. $$ したがって, $$ \bigcup_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cap B)\subseteq \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B. $$
逆に, $\displaystyle x\in \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B$ とすると, $\displaystyle x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$ かつ $x\in B$. 前者より, ある $\lambda_0\in\Lambda$ が存在して, $x\in A_{\lambda_0}$. ゆえに, $$ x\in A_{\lambda_0}\cap B\subseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(A_{\lambda}\cap B). $$ よって, 逆の包含関係もいえる.
最終更新日：2011年11月02日