$X$ を普遍集合, $(A_{\lambda}\mid\lambda\in\Lambda)$ を $X$ の部分集合系, $B$ を $X$ の部分集合とするとき, \begin{align*} B\setminus\left( \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} \right) &= \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(B\setminus A_{\lambda}), \\ B\setminus\left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} \right) &= \bigcup_{\lambda\in\Lambda}(B\setminus A_{\lambda}) \end{align*} が成り立つことを証明せよ.
解答例 1
$x\in X$ について, \begin{align*} x\in B\setminus\left( \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} \right) &\Longleftrightarrow \mbox{$x\in B$ かつ $\displaystyle x\not\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$} \\ &\Longleftrightarrow \mbox{$x\in B$ かつ「任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $x\not\in A_{\lambda}$ 」} \\ &\Longleftrightarrow \mbox{任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $x\in B$ かつ $x\not\in A_{\lambda}$ } \\ &\Longleftrightarrow \mbox{任意の $\lambda\in\Lambda$ に対して, $x\in B\setminus A_{\lambda}$ } \\ &\Longleftrightarrow x\in \bigcap_{\lambda\in\Lambda}(B\setminus A_{\lambda}). \end{align*} よって, 1番目の等式が成り立つ. また, \begin{align*} x\in B\setminus\left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} \right) &\Longleftrightarrow \mbox{$x\in B$ かつ $\displaystyle x\not\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$} \\ &\Longleftrightarrow \mbox{$x\in B$ かつ「ある $\lambda\in\Lambda$ が存在して, $x\not\in A_{\lambda}$ 」} \\ &\Longleftrightarrow \mbox{ある $\lambda\in\Lambda$ が存在して, $x\in B$ かつ $x\not\in A_{\lambda}$ } \\ &\Longleftrightarrow \mbox{ある $\lambda\in\Lambda$ が存在して, $x\in B\setminus A_{\lambda}$ } \\ &\Longleftrightarrow x\in \bigcup_{\lambda\in\Lambda}(B\setminus A_{\lambda}). \end{align*} よって, 2番目の等式が成り立つ.
最終更新日：2011年11月02日